$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ \sqrt{1-x}-\sqrt{1+x} }{x}$
$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1-x}-1+1-\sqrt{1+x}}{x}$
$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ \dfrac{1-x-1}{\sqrt{1-x}+1}+\dfrac{1-1-x }{1+\sqrt{1+x}} }{x}$
$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-1}{\sqrt{1-x}+1}-\dfrac{1}{1+\sqrt{1+x}}$
$=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{1}{2}$
$=-1$