Giải thích các bước giải:
a, Tứ giác BHCK có M là giao của 2 đường chéo BC , HK và là trung điểm mỗi đường
⇒ Tứ giác BHCK là hình bình hành (đpcm)
b, Tứ giác BHCK là hình bình hành(câu a) ⇒ $\left \{ {{BH ║ CK } \atop {CH║BK}} \right.$
mà BH ⊥ AC và CH ⊥ AB ⇒ $\left \{ {{CK ⊥ AC } \atop {BK ⊥ AB}} \right.$ (đpcm)
c, Gọi D là giao của BC và HI ⇒ BC ⊥ HI tại D và D là trung điểm của HI
Δ HIK có D là trung điểm của HI và M là trung điểm của HK
⇒ DM là đường trung bình của Δ HIK ⇒ DM ║IK hay BC ║ IK
Δ BHI có BD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
⇒ ΔBHI cân tại B ⇒ BD cũng là phân giác của $\widehat{HBI}$
⇒ $\widehat{HBD}$ = $\widehat{IBD}$ mà $\widehat{HBD}$ = $\widehat{KCB}$ (vì BH║CK)
⇒ $\widehat{KCB}$ = $\widehat{IBD}$ mà BC ║ IK ⇒ Tứ giác BIKC là hình thang cân(đpcm)
d, Tứ giác GHCK có GK ║ CH ⇒ Tứ giác GHCK là hình thang
Để tứ giác GHCK là hình thang cân thì $\widehat{GHC}$ = $\widehat{KCH}$
mà $\widehat{KCH}$ = $\widehat{HBG}$(vì BHCK là hình bình hành)
Theo tính chất bắc cầu thì HG = HB ⇒ ΔHBG cân tại H ⇒ $\widehat{HGB}$ = $\widehat{HBG}$
ΔABG vuông tại B có: $\widehat{BAG}$ + $\widehat{HGB}$ = $90^{o}$
mà ΔABD vuông tại D có: $\widehat{ABC}$ + $\widehat{BAG}$ = $90^{o}$
⇒ $\widehat{HGB}$ = $\widehat{ABC}$ mặt khác $\widehat{HGB}$ = $\widehat{HBG}$
⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{HBG}$
⇒ $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HBC}$ = $\widehat{HBC}$ + $\widehat{CBG}$
⇒ $\widehat{ABH}$ = $\widehat{CBG}$
mà Δ ABE vuông tại E có: $\widehat{ABH}$ + $\widehat{BAE}$ = $90^{o}$
và $\widehat{ABC}$ + $\widehat{CBG}$ = $90^{o}$
⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{BAE}$ ⇒ Δ ABC cân tại C
Vậy Δ ABC cân tại C thì tứ giác GHCK là hình thang cân
