Đáp án:
`(x,y)=(1,1).`
Giải thích các bước giải:
`x^{2022}=y^{2022}-y^{1348}-y^{674}+2`
Đặt `t=y^{674}(t>=0,t in NN)`
`pt<=>x^{2022}=t^3-t^2-t+2`
`<=>(x^{674})^3=t^3-t^2-t+2`
Với `t=0`
`pt<=>(x^{674})^3=2` vô lý vì `x in ZZ`
Với `t>=1`
`<=>4t^2>1,4t>1`
`<=>4t^2+4t>2>1`
`<=>4t^2+4t-1>0`
`<=>3t^2+3t>1-t^2-t`
`<=>t^3+3t^2+3t+1>t^3-t^2-t+2`
`<=>(t+1)^3>t^3-t^2-t+2`
Hay `(x^{674})^3<(t+1)^3`
`<=>x^{674}<t+1`
`<=>x^{674}<y^{674}+1(1)`
Mặt khác ta lại có:
`2t^2-4t+3>0`
`<=>t^3-t^2-t+2>t^3-3t^2+3t-1`
`<=>t^3-t^2-t+2>(t-1)^3`
`<=>(x^{674})^3>(t-1)^3`
`<=>x^{674}>t-1(2)`
`(1)(2)=>x^{674}=t`
`<=>x^{674}=y^{674}`
`<=>x=y`
`pt<=>0=-y^{1348}-y^{674}+2`
`<=>t^2-t-2=0`
`<=>[(t=1(tm)),(t=-2(l)):}`
`<=>y^{674}=1`
`<=>y=1(tm)`
`<=>x=1(tm)`
Vậy `(x,y)=(1,1).`
