Đáp án: $P\ge 2019\sqrt{5}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$2a^2+ab+2b^2=\dfrac54(a+b)^2+\dfrac34(a-b)^2\ge \dfrac54(a+b)^2$
$\to\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge (a+b)\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2}(1)$
Tương tự:
$\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge (b+c)\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2}(2)$
$\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge (c+a)\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2}(3)$
Cộng vế với vế của $(1), (2), (3)$
$\to P\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}\cdot 2(a+b+c)$
$\to P\ge (a+b+c)\sqrt{5}$
$\to P\ge 2019\sqrt{5}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=673$