a) Ta có:
$\widehat{ABM} = \widehat{ACM} = 90^o$ (cùng nhìn đường kính $AM$)
$\Rightarrow AB\perp BM; \, AC\perp CM$
Ta lại có:
$CH\perp AC \, (CF\perp AC)$
$BH\perp AB\, (BE\perp AB)$
$\Rightarrow BM//CH; \, CM//BH$
$\Rightarrow BHCM$ là hình bình hành
b) Ta có: $BHCM$ là hình bình hành (câu a)
$I$ là trung điểm đường chéo $BC$ $(gt)$
$\Rightarrow I$ là trung điểm đường chéo $HM$
$\Rightarrow H,I,M$ thẳng hàng
$\Rightarrow HI = IM$
Ta lại có:
$OA = OM = R$
$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của $ΔAHM$
$\Rightarrow OI//AH;\, AH = 2OI$
mà $AH\perp BC$
$\Rightarrow OI\perp BC$
c) Xét $ΔAHG$ và $ΔIOG$ có:
$\widehat{HAG} = \widehat{OIG}$ (so le trong)
$\dfrac{AH}{OI} = \dfrac{AG}{IG} = 2$ (tính chất trọng tâm)
Do đó $ΔAHG\sim ΔIOG \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AGH} = \widehat{OGI}$
mà $A,G,M$ thẳng hàng
nên $H,G,O$ thẳng hàng
d) Ta có: $ΔAHG\sim ΔIOG$ (câu c)
$\Rightarrow \dfrac{HG}{OG} = \dfrac{AH}{OI} = 2$
$\Rightarrow HG = 2OG$
$\Rightarrow S_{AGH} = 2S_{AGO}$
