Đáp án:

Giải thích các bước giải:( hình bạn tự vẽ hộ nha )                                                                                  a) M,D đối xứng qua AB

suy ra:AB là đường trung trực của MD

suy ra: AB vuông góc DM , suy ra : góc AED=90 độ

D,N đối xứng qua AC

suy ra : AC là đường trung trực của DN

suy ra : AC vuông góc DN, suy ra : góc AFD=90 độ

mà góc EAF=90 độ(gt)

vậy tứ giác AEDF là Hình chữ nhật ( vì có 3 góc vuông)

b)- tứ giác AEDF là hình chữ nhật

suy ra : DE song song AC; DF song song AB

trong tam giác ABC, có:DB=DC(gt)

mà DE song song AC

suy ra : AE=EB( t/c đường tb của tam giác)

xét tứ giác ADBM , ta có:

AE=EB ( cmt)

ED=EM(vì AB là trung trực DM)

suy ra : tứ giác ADBM là HBH ( vì có hai đg chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đg)

mặt khác:AB vuông góc DM

vậy Hình bình hành ADBM là hình thoi ( vì hai đg chéo vuông góc)

-xét tứ giác ADCN, ta có:

AF=FN ( vì AC là đg trung trực DN)

suy ra : tứ giác ADCN là HBH ( vì có hai đg chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đg)

lại có:AC vuông góc DN

vậy hình bình hành ADCN là hình thoi ( vì có hai đg chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đg)

c)ADBM là hình thoi

suy ra AM song song DC và AD =AN

hay AM song song BC và AM=AD            (1)

ADCN là hình thoi

suy ra AN song song DC ;AD=AN

hay AN song song BC;AN=AD                   (2)

từ(1) và (2): AM trùng vs AD hay M,A,N thẳng hàng

vì AM=AN nên A là trung điểm của MN

vậy M, N đối xứng qua A

d)hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE=AF

ta có : AE=1/2AB

          AF=1/2AC

nên : AE=AF

 suy ra : AB=AC

vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác thì tứ giác AEDF  là hình vuông

Đáp án:

a)

Xét tứ giác $AEDF$ có

$\widehat{EAF}=90^0$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$)

$\widehat{AED}=90^0$ (do $M$ đối xứng với $D$ qua $E$)

$\widehat{AFD}=90^0$ (do $N$ đối xứng với $D$ qua $F$)

$\Rightarrow $ tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật

b)

Xét $\triangle ABC$ có

$D$ là trung điểm của $BC$

$DE//AC$ (t/c hình chữ nhật)

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AB$

Xét tứ giác $ADBM$ có

$DM \cap AB=\{E\}$

$E$ là trung điểm của $AB$

$E$ là trung điểm của $DM$

$\Rightarrow $ tứ giác $ADBM$ là hình bình hành

mà $AB\bot MD$

$\Rightarrow $ tứ giác $ADBM$ là hình thoi

Chứng minh tương tự có $F$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow ADCN$ là hình thoi

c)

Do tứ giác $ADBM$ là hình bình hành

$\Rightarrow AM//=BD$ 

Ta có:

$AE=EB=\dfrac{1}{2}AB$

$DF=FN=\dfrac{1}{2}DN$

mà $AE=DF$ (t/c hình chữ nhật)

$\Rightarrow AB=DN$

Xét tứ giác $ABDN$ có 

$AB=DN$ (cmt)

$AB//DN$ (do $AE//DF$- t/c hình chữ nhật)

$\Rightarrow $ tứ giác $ABDN$ là hình bình hành

$\Rightarrow AN//=BD$

Ta có

$AM//BD$  (cmt)

$AN//BD$ (cmt)

$\Rightarrow A,M,N$ thẳng hàng (định lý talet)

mặt khác $AM=AN=BD$

$\Rightarrow M$ đối xứng với $N$ qua $A$

d)

Giả sử tứ giác $AEDF$ là hình vuông

$\Rightarrow AE=AF$

mà $AE=EB=\dfrac{1}{2}AB$

$AF=FC=\dfrac{1}{2}AC$

$\Rightarrow AB=AC$

$\Rightarrow \triangle ABC$ cân tại $A$

Vậy nếu $\triangle ABC$ thêm điều kiện cân tại $A$ thì tứ giác $AEDF$ là hình vuông.