`a)`
Xét `ΔABC` và `ΔHBA` có:
`hat{BAC}=hat{BHA}=90^o`
`hat{B}:chung`
`⇒ΔABC`$\backsim$`ΔHBA(g.g)(đpcm)`
Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABC` ta có:
`BC²=AB²+AC²`
`BC²=6²+8²`
`BC²=36+64`
`BC²=100`
`BC=`$\sqrt[]{100}$
`BC=10(cm)`
Ta có:`ΔABC`$\backsim$`ΔHBA(g.g)`
`⇒(BC)/(BA)=(CA)/(AH)`
`⇒10/6=8/(AH)`
`⇒AH=(6.8)/10`
`⇒AH=48/10`
`⇒AH=4,8(cm)`
Vậy `BC=10cm` và `AH=4,8cm`
`b)`
Xét `ΔADH` và `ΔAHB` có:
`hat{ADH}=hat{AHB}=90^o`
`hat{A}:chung`
`⇒ΔADH`$\backsim$`ΔAHB(g.g)`
`⇒(AH)/(AB)=(AD)/(AH)`
`⇒AH²=AD.AB(đpcm)`
`c)`
Gọi `O` là giao điểm của `AH` và `DE`
Xét tứ giác `ADHE` có:
`hat{DAE}=hat{AEH}=hat{ADH}=90^o`
`⇒` tứ giác `ADHE` là hình chữ nhật `(` tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật `)`
`⇒OA=OE(` tính chất hình chữ nhật `)`
`⇒ΔOAE` cân tại `O`
`⇒hat{A_1}=hat{E_1}(` tính chất `Δ` cân `)`
Mà `hat{A_1}+hat{C}=90^o(2` góc phụ nhau `)`
`hat{D_1}+hat{E_1}=90^o(2` góc phụ nhau `)`
`⇒hat{D_1}=hat{C}`
Xét `ΔADE` và `ΔACB` có:
`hat{D_1}=hat{C}(cmt)`
`hat{A}:chung`
`⇒ΔADE`$\backsim$`ΔACB(g.g)`
Vì tứ giác `ADHE` là hình chữ nhật
`⇒DE=AH(` tính chất hình chữ nhật `)`
Ta có:`ΔADE`$\backsim$`ΔACB(g.g)`
`⇒(S_(ADE))/(S_(ACB))=((DE)/(BC))^2=((AH)/(BC))^2=((4,8)/10)^2=144/625`
