Đáp án:
$a/$
Xét `ΔABD` và `ΔACE` có :
`hat{AEC} = hat{ADB} = 90^o`
`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)
`hat{A}` chung
`-> ΔABD = ΔACE` (cạnh huyền - góc nhọn)
$\\$
$\\$
$b/$
Vì `ΔABD = ΔACE` (chứng minh trên)
`-> hat{ABD} = hat{ACE}` (2 góc tương ứng)
$\\$
Ta có : `hat{HBC} = hat{B} - hat{ABD}`
Ta có : `hat{HCB} = hat{C} - hat{ACE}`
mà `hat{B} = hat{C}, hat{ABD} = hat{ACE}`
`-> hat{HBC} = hat{HCB}`
$\\$
`-> ΔBHC` cân tại `H`
$\\$
$\\$
$c/$
Vì Δ`BHC` cân tại `H`
`-> HB = HC`
$\\$
Xét `ΔHDC` vuông tại `D` có :
`HC` là cạnh lớn nhất
`-> HC > HD`
$\\$
mà `HB = HC`
`-> HB > HD`
$d/$
Gọi `I` là giao điểm của `BN` và `CM` (*)
$\\$
Vì `ΔABD = ΔACE` (chứng minh trên)
`-> AE = AD` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Xét `ΔAHE` và `ΔAHD` có :
`hat{AEH} = hat{ADH} = 90^o`
`AE = AD` (chứng minh trên)
`AH` chung
`-> ΔAHE = ΔAHD` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> hat{IHN} = hat{IHM}` (2 góc tương ứng)
$\\$
Xét `ΔIHE` và `ΔIHM` có :
`IH` chung
`HN = HM` (giả thiết)
`hat{IHN} = hat{IHM}` (chứng minh trên)
`-> ΔIHE = ΔIHM` (cạnh - góc - cạnh)
`-> IN = IM` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Xét `ΔNHB` và `ΔMHC` có :
`hat{NHB} = hat{MHC}` (2 góc đối đỉnh)
`HN = HM`(giả thiết)
`BH = CH` (Vì `ΔBHC` cân tại `H`)
`-> ΔNHB = ΔMHC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> BN = CM` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Ta có : `IB = IN + BN`
Ta có : `IC = IM + CM`
mà `IN = IM, BN = CM`
`-> IB = IC`
`-> I` nằm trên đường trung trực của `BC (1)`
$\\$
Ta có : `AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)
`-> A` nằm trên đường trung trực của `BC (2)`
$\\$
Ta có : `HB = HC` (Vì `ΔBHC` cân tại `H`)
`-> H` nằm trên đường trung trực của `BC (3)`
$\\$
Từ `(1), (2), (3)`
`-> I,A,H` thẳng hàng
hay `AH` đi qua `I` (**)
$\\$
Từ (*) và (**)
`-> BN,AH,CM` đồng quy tại `I`
