Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta luôn có $e^{x} - x > 0$ với $∀x ∈ R$
$x + e^{x}.f'(e^{x}) = f(e^{x}) + 1$
$ ⇔ e^{x}.f'(e^{x}) - 1 = f(e^{x}) - x $
$ ⇔ (f(e^{x}) - x)' = f(e^{x}) - x $
$ ⇔ \dfrac{(f(e^{x}) - x)'}{f(e^{x}) - x} = 1$
$ ⇒ ∫\dfrac{(f(e^{x}) - x)'}{f(e^{x}) - x}dx = ∫dx$
$ ⇒ ln[f(e^{x}) - x] = x + C'$
$ ⇒ f(e^{x}) - x = e^{x + C}$
$ ⇒ f(e^{x}) = k.e^{x} + x ( k = e^{C})$
$ ⇒ f(x) = kx + lnx (*)(x ∈ (0; + ∞))$
Thay $x = 1$ vào $(*): ⇒ k = f(1) = 1$
$ ⇒ f(x) = x + lnx $
Thay $x = 4$ vào $ ⇒ f(4) = 4 + ln4 ∈ (5; 6)$
