1)
Theo tính chất đối xứng thì $AD=AE=AH$
$\Rightarrow \Delta ADE$ cân tại $A$
3)
Kẻ đường cao $BG$
Xét $\Delta BFC$ và $\Delta BHA$, có:
$\widehat{ABC}$ chung, $\widehat{BFC}=\widehat{BHA}=90{}^\circ $
$\Rightarrow \Delta BFC\backsim\Delta BHA\left( g.g \right)$$\Rightarrow \dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BH}{BA}$
Xét $\Delta BFH$ và $\Delta BCA$, có:
$\widehat{ABC}$ chung, $\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BH}{BA}\left( cmt \right)$
$\Rightarrow \Delta BFH\backsim\Delta BCA\left( c.g.c \right)$
$\Rightarrow \Delta HBF\backsim\Delta ABC$
CMTT: $\Delta AGF\backsim\Delta ABC$
$\Rightarrow \Delta HBF\backsim\Delta AGF$
$\Rightarrow \widehat{HFB}=\widehat{AFG}$
Mà $\widehat{HFB}+\widehat{HFC}=90{}^\circ $, $\widehat{AFG}+\widehat{GFC}=90{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{HFC}=\widehat{GFC}$
$\Rightarrow FC$ là phân giác trong $\widehat{GFH}$
Vì $D$ đối xứng $H$ qua $AB$, mà $F\in AB$
$\Rightarrow FB$ là phân giác trong $\widehat{DFH}$
Mà $FB\bot FC$
Nên $FC$ là phân giác ngoài $\widehat{DFH}$
Mà $FC$ là phân giác trong $\widehat{GFH}$
Vậy $D,F,G$ thẳng hàng
CMTT: $E,G,F$ thẳng hàng
Vậy $4$ điểm $D,F,G,E$ thẳng hàng
Hay $D,F,E$ thẳng hàng
2)
Gọi $S$ là giao điểm $DE$ và $AK$
Gọi $Ax$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$
$\Rightarrow\begin{cases}\widehat{BAx}=\widehat{CAx}\\\widehat{HAx}=\widehat{KAx}\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAK}$
Lại có $\widehat{ABC}=\widehat{AGF}$ (vì $\Delta ABC\backsim\Delta AGF$)
$\Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta ASG$
$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{ASG}=90{}^\circ $
$\Rightarrow AK\bot FE$ tại $S$
