Đáp án:

$6.$

$a. x = 66 ; y = 55$

$b. x = - 20 ; y = - 16$

$c.$ \(\left[ \begin{array}{l}x=6;y=32\\x=-6;y=-32\end{array} \right.\) 

$d.$ \(\left[ \begin{array}{l}x=-9;y=21\\x=9;y=-21\end{array} \right.\) 

$e. x = 12 ; y = 16 ; z = 24$

$f. x = 9 ; y = 10 ; z = 19$

$g. x = 14 ; y = 20 ; z = 32$

$7.$ Diện tích của hình chữ nhật là : $90 m^{2}$

Giải thích các bước giải:

$6.$

$a. \frac{x}{y} = \frac{6}{5}$

⇔ $\frac{x}{6} = \frac{y}{5}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 

$\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{x+y}{6+5} = \frac{121}{11} = 11$

⇔ $x = 11.6 ; y = 11.5$

⇔ $x = 66 ; y = 55$

$b. 4x = 5y$

⇔ $\frac{x}{5} = \frac{y}{4}$

⇔ $\frac{2x}{10} = \frac{5y}{20}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

$\frac{2x}{10} = \frac{5y}{20} = \frac{2x-5y}{10-20} = \frac{40}{-10} = - 4$

⇔ $2x = - 4.10 ; 5y = - 4.20$

⇔ $2x = - 40 ; 5y = - 80$

⇔ $x = - 20 ; y = - 16$

$c.$ Đặt $\frac{x}{3} = \frac{y}{16} = k$

⇒ $x = 3k ; y = 16k$

Ta có : $xy = 192$

⇔ $3k.16k = 192$

⇔ $48k^{2} = 192$

⇔ $k^{2} = 4$

⇔ $k = ±2$

+) $k = 2$

⇒ $x = 6 ; y = 32$

+) $k = - 2$

⇒ $x = - 6 ; y = - 32$

$d.$ Đặt $\frac{x}{-3} = \frac{y}{7} = k$

⇒ $x = - 3k ; y = 7k$

Ta có : $x^{2} - y^{2} = - 360$

⇔ $(-3k)^{2} - (7k)^{2} = - 360$

⇔ $9k^{2} - 49k^{2} = - 360$

⇔ $- 40k^{2} = - 360$

⇔ $k^{2} = 9$

⇔ $k = ±3$

+) $k = 3$

⇒ $x = - 9 ; y = 21$

+) $k = - 3$

⇒ $x = 9 ; y = - 21$

$e. \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{x+y+z}{3+4+6} = \frac{52}{13} = 4$

⇔ $x = 4.3 ; y = 4.4 ; z = 4.6$

⇔ $x = 12 ; y = 16 ; z = 24$

$f. \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{4}$

⇔ $\frac{x-1}{2} = \frac{2y+4}{6} = \frac{3z-9}{12}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
$\frac{x-1}{2} = \frac{2y+4}{6} = \frac{3z-9}{12} = \frac{(x-1)-(2y+4)+(3z-9)}{2-6+12}$ 

⇔ $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{4} = \frac{x-2y+3z-1-4-9}{8} = \frac{46-14}{8}$

⇔ $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{4} = \frac{32}{8} = 4$

⇔ $x - 1 = 8 ; y + 2 = 12 ; z - 3 = 16$

⇔ $x = 9 ; y = 10 ; z = 19$

$g. \frac{x}{y} = \frac{7}{10} ; \frac{y}{z} = \frac{5}{8}$

⇔ $\frac{x}{7} = \frac{y}{10} ; \frac{y}{5} = \frac{z}{8}$

⇔ $\frac{x}{7} = \frac{y}{10} = \frac{z}{16}$

Đặt $\frac{x}{7} = \frac{y}{10} = \frac{z}{16} = k$

⇒ $x = 7k ; y = 10k ; z = 16k$

Ta có : $2x - y + 3z = 104$

⇔ $14k - 10k + 48k = 104$

⇔ $52k = 104$

⇔ $k = 2$

⇒ $x = 14 ; y = 20 ; z = 32$

$7.$ Gọi độ dài của chiều dài , chiều rộng của hình chữ nhật là $x ; y (m)$ $( x ; y > 0 )$

Tỉ số hai cạnh của hình chữ nhật bằng $\frac{2}{5}$

⇒ $\frac{x}{y} = \frac{2}{5}$

⇒ $\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$

Chu vi hình chữ nhật là $42 m$

⇒ $2( x + y ) = 42$

⇔ $x + y = 21$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

$\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{x+y}{2+5} = \frac{21}{7} = 3$

⇔ $x = 6 m ; y = 15 m$

Diện tích của hình chữ nhật là : $xy = 6.15 = 90 m^{2}$