Đáp án:
Giải thích các bước giải: Theo Vi ét:
$ \left[ \begin{array}{l}x_{1} + x_{2} = 3 (1)\\x_{1}x_{2} = m(2)\end{array} \right.; \left[ \begin{array}{l}x_{3} + x_{4} = 12 (3)\\x_{3}x_{4} = n(4)\end{array} \right.$
$ \dfrac{x_{1}}{x_{2}} = \dfrac{x_{2}}{x_{3}} = \dfrac{x_{3}}{x_{4}} = k$
Áp dụng tc dãy tỷ số bằng nhau:
$ \dfrac{x_{1} + x_{2}}{x_{2} + x_{3}} = k ⇔ \dfrac{3}{x_{2} + x_{3}} = k (5)$
$ \dfrac{x_{2} + x_{3}}{x_{3} + x_{4}} = k ⇔ \dfrac{x_{2} + x_{3}}{12} = k (6)$
$ (5).(6) ⇒ k² = \dfrac{1}{4} ⇔ k = ± \dfrac{1}{2} $
Mặt khác :
$ x_{1} = kx_{2} ⇔ x_{1}² = k x_{1}x_{2} = km$
$ x_{2} = \dfrac{x_{1}}{k} ⇔ x_{2}² = \dfrac{x_{1}x_{2}}{k} = \dfrac{m}{k}$
$ x_{3} = kx_{4} ⇔ x_{3}² = k x_{3}x_{4} = kn$
$ x_{4} = \dfrac{x_{3}}{k} ⇔ x_{4}² = \dfrac{x_{3}x_{4}}{k} = \dfrac{n}{k}$
Do đó:
$(x_{1} + x_{2})² + (x_{3} + x_{4})² + 2(x_{1} + x_{2}).(x_{3} + x_{4}) = (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4})²$
$ ⇔ x_{1}² + x_{2}² + x_{3}² + x_{4}² + 2(x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4}) + 2.3.12 = (3 + 12)²$
$ ⇔ x_{1}² + x_{2}² + x_{3}² + x_{4}² + 2(m + n) + 72 = 225$
$ ⇔ 2S + km + kn + \dfrac{m}{k} + \dfrac{n}{k} = 153$
$ ⇔ (2 + k + \dfrac{1}{k})S = 153$
- Nếu $ k = \dfrac{1}{2} ⇒ \dfrac{9}{2}S = 153 ⇒ S = 34$
- Nếu $ k = - \dfrac{1}{2} ⇒ - \dfrac{1}{2}S = 153 ⇒ S = - 306$
