Xét phương trình hoành độ ta có:
$-x^2+2x+3=-3x+9$
$\Rightarrow x=2\Rightarrow y=-3.2+9=3$
$\Rightarrow A(2;3)$
và $x=3\Rightarrow y=-3.9+9=0$ $\Rightarrow B=(3;0)$
$K$ thuộc đường trung trực của $AB$ thì $KA+KB$ đạt GTNN $I(m,n)$ là trung điểm của $AB$
$\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} m=\dfrac{2+3}{2}=\dfrac{5}{2} \\ n=\dfrac{3+0}{2}=\dfrac{3}{2} \end{array} \right .$
$\Rightarrow \vec{IK}=(a-\dfrac{5}{2};b-\dfrac{3}{2})$ $\vec{AB}=(1;-3)$
$\Rightarrow IK\bot AB\Rightarrow \vec{IK}\vec{AB}=\vec 0$
$\Rightarrow a-\dfrac{5}{2}-3(b-\dfrac{3}{2})=0$
$\Rightarrow a-3b+2=0\Rightarrow b=\dfrac{a+2}{3} (1)$
Do $K\in(P)\Rightarrow b=-a^2+2a+3$
Thay (1) vào phương trình tương đương
$\dfrac{a+2}{3}=-a^2+2a+3$
$\Rightarrow a=\dfrac{-\dfrac{5}{3}-\dfrac{\sqrt{109}}{3}}{-2}=\dfrac{5+\sqrt{109}}{6}$ (Ngiệm âm loại vì từ đồ thị nghiệm dương cho tổng 2 đoạn ngắn hơn)
$\Rightarrow b=\dfrac{\dfrac{5+\sqrt{109}}{6}+2}{3}=\dfrac{17+\sqrt{109}}{18}$
$\Rightarrow a+b=\dfrac{11+2\sqrt{109}}{18}$
