Giải thích các bước giải:
Gọi \(DH; EF\) lần lượt là các đường cao của 2 tam giác đều \(ACD\) và \(BCE\)
Suy ra \(DH; EF\) đồng thời cũng là các đường trung tuyến của \(\Delta ACD\) và \(\Delta BCE\)
Từ \(D\) kể \(DI\perp EF\) tại \(I\)
Ta có: \(\Delta EDI\) vuông tại \(I\), suy ra \(DE\geq DI\)
Lại có: \(DIFH\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow DI=HF=HC+CF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB\).
Vì \(A, B\) cố định nên suy ra \(DI\) không đổi
Do đó \(DE\) nhỏ nhất là bằng đoạn \(DI\) khi và chỉ khi \(E\) trùng với \(I\)
Lại có: \(DIFH\) là hình chữ nhật\(\Rightarrow DH=IF\) hay \(DH=EF\) (vì \(E\equiv I\))
Hai tam giác \(ACD\) và \(BCE\) đều có 2 đường cao \(DH; EF\) bằng nhau nên:
\(\Delta ACD=\Delta BCE\Rightarrow AC=BC\)
Mà \(C\in AB\Rightarrow C\) là trung điểm của \(AB\)
Vậy khi \(C\) là trung điểm của \(AB\) thì \(DE\) nhỏ nhất
