Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là hình chiếu của \(E\) trên \(AB\) và \(AC.\) Tính diện tích tứ giác \(AMEN.\) A.\(\dfrac{{64}}{9}c{m^2}\) B.\(16c{m^2}\) C.\(9c{m^2}\) D.\(\dfrac{{576}}{{49}}c{m^2}\)
Đáp án đúng: D Phương pháp giải: Chứng minh tứ giác \(AMEN\) là hình chữ nhật. Vì \(AE\) là phân giác của \(\angle A\) \( \Rightarrow \angle MAE = \angle NEA = {45^0}\) \( \Rightarrow \Delta AME,\,\,\Delta ANE\) là các tam giác vuông cân tị \(M\) và \(N.\) \( \Rightarrow AMEN\) là hình vuông. Từ đó tính \(AM,\,\,AN\) \( \Rightarrow {S_{AMEN}} = A{M^2}.\)Giải chi tiết: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EM \bot AB = \left\{ M \right\}\\EN \bot AC = \left\{ N \right\}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle AME = \angle ANE = {90^0}\) Xét tứ giác \(AMEN\) ta có:\(\angle MAN = \angle AME = \angle ANE = {90^0}\) \( \Rightarrow AMEN\) là hình chữ nhật. Vì \(AE\) là phân giác của \(\angle A\) \( \Rightarrow \angle MAE = \angle NEA = {45^0}\) \( \Rightarrow \Delta AME,\,\,\Delta ANE\) là các tam giác vuông cân tị \(M\) và \(N.\) \( \Rightarrow AMEN\) là hình vuông. Xét \(\Delta AME\) vuông cân tại\(M\) ta có: \(\begin{array}{l}A{E^2} = A{M^2} + M{E^2} = 2A{M^2}\\ \Rightarrow A{M^2} = \dfrac{{A{E^2}}}{2} = \dfrac{{1152}}{{2.49}} = \dfrac{{576}}{{49}}\\ \Rightarrow {S_{AMEN}} = A{M^2} = \dfrac{{576}}{{49}}\,\,\,c{m^2}.\end{array}\) Chọn D.