Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)Giải chi tiết:Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right) + 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\\ \Leftrightarrow 9{\left( {2m + 1} \right)^2} - 3\left( {12m + 5} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 9\left( {4{m^2} + 4m + 1} \right) - 36m - 15 \le 0\\ \Leftrightarrow 36{m^2} - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \le \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6} \le m \le \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array}\)
TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(2 \le {x_1} < {x_2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_1} - 2} \right) \ge 0\\{x_1} + {x_2} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36{m^2} - 6 > 0\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\\{x_1} + {x_2} > 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} > \dfrac{1}{6}\\\dfrac{{12m + 5}}{3} - 2.\dfrac{{6\left( {2m + 1} \right)}}{3} + 4 \ge 0\\\dfrac{{6\left( {2m + 1} \right)}}{3} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\m <  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\\12m + 5 - 24m - 2 + 12 \ge 0\\4m + 2 > 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\m <  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\\ - 12m \ge  - 15\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\m <  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\\m \le \dfrac{5}{4}\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m \le \dfrac{5}{4}\end{array}\)
Kết hợp hai trường hợp ta được: \(\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6} \le m \le \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\\dfrac{1}{2} < m \le \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\)
Lại có: \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) \( \Rightarrow m = 1.\)
Vậy có \(1\) giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.
Chọn A.