Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = m + n\) với \(m\) là số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(n\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) (không tính nghiệm kép).Giải chi tiết:Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + mx + m\) ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\left( {2m + 1} \right)x + m\).Ta có \(\Delta ' = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 3m = 4{m^2} + m + 1 > 0\,\,\forall m\) nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) luôn có 2 điểm cực trị với mọi \(m\).Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + mx + m = 0\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2mx - m = 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)Để hàm số \(y = \left| {{x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + mx + m} \right|\) có 5 điểm cực trị thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} + m > 0\\1 - 2m - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 2021; - 1} \right) \cup \left( {0;2021} \right]\backslash \left\{ {\dfrac{1}{3}} \right\}\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 2021; - 2020;...; - 2;1;2;....;2021} \right\} = X\).Vậy tổng các phần tử của X bằng 1.Chọn C
