Lời giải gợi ý:
Gọi $M'$ là giao điểm giữa $HA$ và $BC$
Từ $B$ và $C$ lần lượt kẻ $BP$ và $CQ$ vuông góc $HA$
$\Rightarrow \widehat{P}=\widehat{Q}=90^\circ$
Xét $∆DHA$ và $∆APB$ có:
$\widehat{H}=\widehat{P}=90^\circ$
$\widehat{DAH}=\widehat{ABP}$ (cùng phụ $\widehat{BAP}$)
$AD = AB\quad (gt)$
Do đó $∆DAH=∆APB$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow AH = BP\quad (1)$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $∆EAH$ và $∆ACQ$ có:
$\widehat{H}=\widehat{Q}= 90^\circ$
$\widehat{EAH}=\widehat{ACQ}$ (cùng phụ $\widehat{CAQ}$)
$AE = AB\quad (gt)$
Do đó $∆EAH=∆ACQ$ (cạnh huyền góc nhọn)
$\Rightarrow AH = CQ\quad (2)$ (hai cạnh tương ứng)
Từ $(1)(2)\Rightarrow BP = CQ$
Xét $∆BPM'$ và $∆CQM'$ có:
$\widehat{P}=\widehat{Q}=90^\circ$ (cách dựng)
$BP = CQ\quad (cmt)$
$\widehat{PBM'}=\widehat{QCM'}$ (so le trong)
Do đó $∆BPM'=∆CQM'$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
$\Rightarrow BM' = CM'$ (hai cạnh tương ứng)
mà $M'\in BC$
nên $M'$ là trung điểm $BC$
Ta lại có: $M$ là trung điểm $BC\quad (gt)$
$\Rightarrow M\equiv M'$
$\Rightarrow M$ là giao điểm giữa $HA$ và $BC$
$\Rightarrow M\in HA$
hay $M,\, A,\,H$ thẳng hàng
