Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $:x = \frac{1}{a} > 0; y = \frac{1}{b} > 0; z = \frac{1}{c} > 0⇒ xyz = \frac{1}{abc} = 1$
Áp dụng Cô si Ta có $: x + y + z ≥ 3\sqrt[3]{xyz} = 3$
$ 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)² ≥ 9 ⇒ x² + y² + z² ≥ 3$
$3(x^{4} + y^{4} + z^{4}) ≥ (x² + y² + z²)² ≥ 3(x² + y² + z²) (1)$
$x^{4} + y^{4} + z^{4} ≥ 3\sqrt[3]{x^{4}y^{4}z^{4}} = 3 (2)$
$ x³ + y³ + z³ = (x + y + z)³ - 3(x + y)(y + z)(z + x) $ (hằng đẳng thức)
$≥ (x + y + z)³ - \frac{3}{27} [(x + y) + (y + z) + (z + x)]³$ ( Cô si cho 3 số)
$ = (x + y + z)³ - \frac{8}{9}(x + y + z)³ = \frac{1}{9}(x + y + z)³ ≥ x + y + z $
$ ⇒3(x³ + y³ + z³) ≥ 3(x + y + z) (3)$
$ (1) + (2) + (3):$
$4(x^{4} + y^{4} + z^{4}) + 3(x³ + y³ + z³) ≥ 3(x² + y² + z²) + 3(x + y + z) + 3$
$⇔4(x^{4} + y^{4} + z^{4}) + 4(x³ + y³ + z³) ≥ (x³ + 3x² + 3x + 1) + (y³ + 3y² + 3y + 1) + (z³ + 3z² + 3z + 1)$
$⇔ 4(x^{4} + y^{4} + z^{4}) + 4(x³ + y³ + z³) ≥ (x + 1)³ + (y + 1)³ + (z + 1)³$
$⇔ 4(x^{4} + y^{4} + z^{4}) + 4(x³ + y³ + z³) ≥ 3(x + 1)(y + 1)(z + 1)$
$⇔ (x³ + x^{4}) + (y³ + y^{4}) + (z³ + z^{4}) ≥ \frac{3}{4}(x + 1)(y + 1)(z + 1)$
$⇔ \frac{a + 1}{a^{4}} + \frac{b + 1}{b^{4}} + \frac{c + 1}{c^{4}} ≥ \frac{3}{4}(\frac{a + 1}{a})(\frac{b + 1}{b})(\frac{c + 1}{c})$
$⇔ \frac{a + 1}{a^{4}} + \frac{b + 1}{b^{4}} + \frac{c + 1}{c^{4}} ≥ \frac{3}{4}(a + 1)(b + 1)(c + 1) (đpcm)$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a = b = c = 1$
