Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\({x^2} - 27x + 14 = 0\)
Ta chứng minh \({S_n} = {x^n} + {y^n} \in Z\) bằng quy nạp.
Theo định lí Viet ta có :
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 27\\
xy = 14
\end{array} \right.\]
Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = x + y = 27 \in Z.\)
Giả sử \({S_k} = {x^k} + {y^k}\) là số nguyên thì \({S_{k - 1}} = {x^{k - 1}} + {y^{k - 1}} \in Z\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}
{S_{k + 1}} = {x^{k + 1}} + {y^{k + 1}} = \left( {{x^k} + {y^k}} \right)\left( {x + y} \right) - x{y^k} - {x^k}y\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 27{S_k} - xy\left( {{x^{k - 1}} + {y^{k - 1}}} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 27{S_k} - 14{S_{k - 1}} \in Z\,\,\,\,do\,\left\{ \begin{array}{l}
{S_k} \in Z\\
{S_{k - 1}} \in Z
\end{array} \right.\,\,\,(dpcm)
\end{array}\)
