Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$x+1+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}=3\sqrt{x}\,\,\left( * \right)$
ĐK: $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}\ge 0$ và $x\ge 0$
Dễ thấy $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$
Chia cả 2 vế của phương trình $\left( * \right)$ cho $\sqrt{x}$, ta được:
$\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}}{\sqrt{x}}=3$
\[\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x-4+\frac{1}{x}}=3\,\left( *** \right)\]
Đặt $t=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\left( t>0 \right)$
$\Rightarrow {{t}^{2}}=x+\frac{1}{x}+2$
Pt $\left( *** \right)$ trở thành:
$t+\sqrt{{{t}^{2}}-6}=3$
$\Rightarrow \sqrt{{{t}^{2}}-6}=3-t$
$\Rightarrow {{t}^{2}}-6={{t}^{2}}-6t+9$
$\Rightarrow 6t=15$
$\Rightarrow t=\frac{5}{2}$ (nhận)
$\Rightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow \frac{x+1}{\sqrt{x}}=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2\left( x+1 \right)=5\sqrt{x}$
$\Rightarrow 4{{\left( x+1 \right)}^{2}}=25x$
$\Rightarrow 4{{x}^{2}}-17x+4=0$
$\Rightarrow x=4$ hoặc $x=\frac{1}{4}$
Thử lại với điều kiện ban đầu, ta nhận $x=4$ hoặc $x=\frac{1}{4}$
Vậy $S=\left\{ 4;\frac{1}{4} \right\}$
