Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)DE có độ dài nhỏ nhất.
Đặt $AB=AC=a$ không đổi ;$AE=BD=x(0<x<a)$
Áp dụng định lý Pitago với tam giác $ADE$ vuông tại $A$ có:
\(DE^2= AD^2+AE^2=(a-x)^2+x^2\)
\(=2x^2-2ax+a^2\\ =2(x^2-ax)-a^2\\ =2(x-\dfrac{a^2}{4})^2+\dfrac{a^2}{2}\ge \dfrac{a^2}{2}\)
Ta có DE nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) \(DE\)\(^2\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) \(x=\)\(\dfrac{a}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(BD=AE=\)\(\dfrac{a}{2}\)
\(\Leftrightarrow\) D,E là trung điểm của AB,AC .
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất .
Ta có : S\(_{ADE}\)=\(\dfrac{1}{2}\) AD.AE
=\(\dfrac{1}{2}AD.BD\)
=\(\dfrac{1}{2}AD(AB-AD)\)
=\(\dfrac{1}{2}\)(AD\(^2-AB.AD)\)
=-\(\dfrac{1}{2}\)(AD\(^2\)-2\(\dfrac{AB}{2}\) .AD+\(\dfrac{AB^2}{4}\))+\(\dfrac{AB^2}{8}\)
=-\(\dfrac{1}{2}\) (AD-\(\dfrac{AB}{4}\) )\(^2\) +\(\dfrac{AB^2}{2}\) \(\le\) \(\dfrac{AB^2}{8}\)
Vậy S\(_{BDEC}\)=S\(_{ABC}\)-S\(_{ADE}\) \(\ge\)\(\dfrac{AB^2}{2}\) -\(\dfrac{AB^2}{8}\)= \(\dfrac{3}{8}AB^2\) không đổi
Do đó min S\(_{BDEC}\) = \(\dfrac{3}{8}AB^2\) KHI D,E lần lượt là trung điểm AB,AC
