Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
+) \(I \in d:\,\,x--6y--10 = 0 \Rightarrow I\left( {6a + 10;\,\,a} \right)\)
+) Đường tròn tiếp xúc với \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) nên ta có \(d\left( {I,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {I,\,\,{\Delta _2}} \right)\).Giải chi tiết:Gọi \(I\) là tâm của đường tròn cần tìm,
Vì \(I \in d:\,\,x--6y--10 = 0\)\( \Rightarrow I\left( {6a + 10;\,\,a} \right)\).
Vì đường tròn tiếp xúc với \({d_1}:3x + 4y + 5 = 0\) và \({d_2}:4x--3y--5 = 0\) nên ta có:
\(d\left( {I\,;\,{d_1}} \right) = d\left( {I\,;\,{d_2}} \right) = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3\left( {6a + 10} \right) + 4a + 5} \right|}}{5} = \dfrac{{\left| {4\left( {6a + 10} \right) - 3a - 5} \right|}}{5}\\ \Leftrightarrow \left| {3\left( {6a + 10} \right) + 4a + 5} \right| = \left| {4\left( {6a + 10} \right) - 3a - 5} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {18a + 30 + 4a + 5} \right| = \left| {24a + 40 - 3a - 5} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {22a + 35} \right| = \left| {21a + 35} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}22a + 35 = 21a + 35\\22a + 35 = - 21a - 35\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\43a = - 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - \dfrac{{70}}{{43}}\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(a = 0 \Rightarrow I\left( {10;\,\,0} \right),\,\,R = 7\)\( \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} = 49\)
+) Với \(a = - \dfrac{{70}}{{43}} \Rightarrow I\left( { - \dfrac{{420}}{{43}};\,\, - \dfrac{{70}}{{43}}} \right)\) (loại vì hoành độ tâm dương)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \(\left( C \right):{\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} = 49\).
Chọn D.
