Đáp án:
Xe 2 tới trước và tới trước
\[\dfrac{{L{{\left( {m - n} \right)}^2}}}{{2mn\left( {m + n} \right)}}\]
Giải thích các bước giải:
Vận tốc trung bình của xe 1 là:
\[{v_{t{b_1}}} = \dfrac{{{s_1} + {s_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} = \dfrac{L}{{\dfrac{L}{{2m}} + \dfrac{L}{{2n}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{2n}} + \dfrac{1}{{2m}}}} = \dfrac{{2mn}}{{m + n}}\]
Vận tốc trung bình của xe 2 là:
\[{v_{t{b_2}}} = \dfrac{{{s_1} + {s_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} = \dfrac{{\dfrac{{mt}}{2} + \dfrac{{nt}}{2}}}{t} = \dfrac{{m + n}}{2}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = \dfrac{L}{{{v_{t{b_1}}}}} = \dfrac{L}{{\dfrac{{2mn}}{{m + n}}}} = \dfrac{{L\left( {m + n} \right)}}{{2mn}}\\
{t_2} = \dfrac{L}{{{v_{t{b_2}}}}} = \dfrac{L}{{\dfrac{{m + n}}{2}}} = \dfrac{{2L}}{{m + n}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow {t_1} - {t_2} = \dfrac{{L\left( {m + n} \right)}}{{2mn}} - \dfrac{{2L}}{{m + n}} = \dfrac{{L{{\left( {m + n} \right)}^2} - 2L.2mn}}{{2mn.\left( {m + n} \right)}} = \dfrac{{L\left( {{m^2} + 2mn + {n^2} - 4mn} \right)}}{{2mn\left( {m + n} \right)}}\\
\Leftrightarrow {t_1} - {t_2} = \dfrac{{L\left( {{m^2} - 2mn + {n^2}} \right)}}{{2mn\left( {m + n} \right)}} = \dfrac{{L{{\left( {m - n} \right)}^2}}}{{2mn\left( {m + n} \right)}}\\
\left\{ \begin{array}{l}
L{\left( {m - n} \right)^2} \ge 0,\forall L,m,n\\
m > 0,n > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{L{{\left( {m - n} \right)}^2}}}{{2mn\left( {m + n} \right)}} > 0 \Leftrightarrow {t_1} - {t_2} > 0\\
\Rightarrow {t_1} > {t_2}
\end{array}\]
Vậy xe 2 tới trước vì thời gian xe 1 đi lớn hơn thời gian xe 2 đi
Và tới trước:
\[{t_1} - {t_2} = \dfrac{{L{{\left( {m - n} \right)}^2}}}{{2mn\left( {m + n} \right)}}\]
