Đáp án:
$g(x)$ có $3$ cực trị
Giải thích các bước giải:
$g(x)=f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-\ln(x^2+8x+16)\\ =f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-\ln\left((x+4)^2\right)\\ =f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-2\ln\left(|x+4|\right)\\ x \in [-3;4]\\ \Rightarrow g(x)=f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-2\ln\left(x+4\right)\\ g'(x)=\dfrac{1}{2}f'\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-\dfrac{2}{x+4}\\ g'(x)=0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}f'\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-\dfrac{2}{x+4}=0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}f'\left(\dfrac{x}{2}+1\right)=\dfrac{2}{x+4}\\ \Leftrightarrow f'\left(\dfrac{x}{2}+1\right)=\dfrac{4}{x+4}(*)\\ u=\dfrac{x}{2}+1 \Leftrightarrow x=2u-2\\ (*)\Leftrightarrow f'\left(u\right)=\dfrac{4}{2u+2}\\ \Leftrightarrow f'\left(u\right)=\dfrac{2}{u+1}\\ \Leftrightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{2}{x+1}$
$f'(x)$ cắt $y=\dfrac{2}{x+1}$ tại $3$ điểm và $f'\left(x\right)-\dfrac{2}{x+1}$ có đổi dấu
$\Rightarrow g(x)$ có $3$ cực trị
