Hàm số \(y = \frac{{2 \sin x - \cos x}}{{ \sin x + 2 \cos x + 3}} \) có tất cả m giá trị nguyên. Tìm m. A. \(m = 2\). B. \(m=3\). C. \(m = 4\). D. \(m = 5\).
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:TXĐ: \(D = R\) \(y = \frac{{2\sin x - \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 3}} \Leftrightarrow 2\sin x - \cos x = y\,\sin \,x + 2y\cos x + 3y \Leftrightarrow \left( {2 - y} \right)\sin \,x - \left( {1 + 2y} \right)\cos x = 3y\) (*) Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {2 - y} \right)^2} + {\left( {1 + 2y} \right)^2} \ge {\left( {3y} \right)^2} \Leftrightarrow 4 - 4y + {y^2} + 1 + 4y + 4{y^2} \ge 9{y^2}\) \( \Leftrightarrow 4{y^2} \le 5 \Leftrightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \le y \le \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) \( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số đã cho là \(\left[ { - \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right]\) Tập các giá trị nguyên của y là \(\left\{ { - 1;0;1} \right\}\) \( \Rightarrow \) \(m = 3\). Chọn: B