Giải thích các bước giải:
VD về hàm số không liên tục:
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {x - 1} - 2}}{{x - 5}}\,\,\,\,\,\,\,\,,x \ne 5\\
10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x = 5
\end{array} \right.\)
Hàm số đã cho xác định trên R, ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\sqrt {x - 1} - 2}}{{x - 5}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {2^2}}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 5}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + 2}}\\
= \frac{1}{{\sqrt {5 - 1} + 2}}\\
= \frac{1}{4}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = \frac{1}{4} \ne f\left( 5 \right)
\end{array}\)
Suy ra hàm số đã cho không liên tục tại \(x = 5\) hay không liên tục trên R.
