$\text{ 11) a) ABCD là hình thoi tâm O }$
$\text{ => O là trung điểm AC và DB }$
$\text{ +) Vì SA = SC }$
$\text{ => tam giác SAC cân }$
$\text{ = O là trung điểm AC }$
$\text{ => SO ⊥ AC (1) }$
$\text{ +) Vì SD = SB }$
$\text{ => tam giác SDB cân }$
$\text{ = O là trung điểm BD }$
$\text{ => SO ⊥ BD (2) }$
$\text{ Từ (1) và (2) }$
$\text{ => SO ⊥ ( ABCD) }$
.
$\text{ b) I, J là trung điểm AB và BC }$
$\text{ => IJ là đường trung bình tam giác ABC }$
$\text{ => IJ // AC (3) }$
$\text{ Vì ABCD là hình thoi có 2 đg chéo là AC và DB }$
$\text{ => AC ⊥ DB ( 2 đg chéo của hình thoi thì ⊥ với nhau ) (4) }$
$\text{ Từ (3) và (4) }$
$\text{ => IJ ⊥ DB (5) }$
$\text{ vì SO ⊥ ( ABCD) (câu a) }$
$\text{ => SO ⊥ IJ (6) }$
$\text{ Từ (5) và (6) }$
$\text{ IJ ⊥ ( SBD) }$
$\text{ => IJ ⊥ SD (đpcm) }$
.
$\text{ 12) Vì ABC là tam giác đều (1) }$
$\text{ => Tâm tam giác ABC là giao điểm của 3 đg cao }$
$\text{ Gọi giao điểm đg cao AH và CE là O }$
$\text{ Các cạnh bên SA = SB = SC (2) }$
$\text{ => Từ (1) và (2) SABC là hình chóp đều }$
$\text{ => SO vuông góc (ABC) }$
$\text{ ta có góc giữa SA và (ABC) là $\widehat{SAO}$ }$
$\text{ đg cao tam giác đều ABC là $\dfrac{a\sqrt[]{2}}{3}$ }$
$\text{ => AH = $\dfrac{a\sqrt[]{2}}{3}$ }$
$\text{ Vì tam giác ABC đều nên giao điểm 3 đg cao cũng trùng với giao điểm 3 đg trung tuyến }$
$\text{ => AO = 2/3 . AH =$\dfrac{2}{3}$ . $\dfrac{a\sqrt[]{2}}{3}$ = $\dfrac{2a\sqrt[]{2}}{9}$ }$
$\text{ Vì SO vuông góc (ABC) }$
$\text{ => SO vuông góc AH }$
$\text{ => tam giác SAO vuông tại O }$
$\text{ ta có $cos$ $\widehat{SAO}$ = $\dfrac{AO}{SA}$ = $\dfrac{\dfrac{2a\sqrt[]{2}}{9}}{a\sqrt[]{2}}{}$ }$
$\text{ = $\dfrac{2a\sqrt[]{2}}{9.a\sqrt[]{3}}$}$
$\text{ => $\widehat{SAO}$ = $arc$ $cos$ $\dfrac{2a\sqrt[]{2}}{9.a\sqrt[]{3}}$}$
$\text{ Vậy góc giữa SA và (ABC) là $arc$ $cos$ $\dfrac{2a\sqrt[]{2}}{9.a\sqrt[]{3}}$}$
