`a)` $∆ABC$ đều (gt)
`=>AB=AC`
`\qquad \hat{BAC}=\hat{ABC}=60°`
`=>\hat{EAD}=\hat{BAC}=60°` (hai góc đối đỉnh)
$\\$
`\qquad AD=AE` (gt)
`=>∆ADE` cân tại $A$
Mà `\hat{EAD}=60°=>∆AED` đều
`=>\hat{ADE}=60°=\hat{ABC}`
Vì `\hat{ADE}` và `\hat{ABC}` ở vị trí so le trong
`=>ED`//$BC$
`=>BCDE` là hình thang $(1)$
$\\$
Vì $AD=AE; AB=AC$
`=>AD+AB=AC+AE`
`=>BD=EC` $(2)$
Từ `(1);(2)=>BCDE` là hình thang cân (đpcm)
$\\$
`b)` `N` là trung điểm $AD$ (gt)
`=>EN` vừa là đường trung tuyến và đường cao của $∆ADE$ đều
`=>EN`$\perp AD$`=>EN`$\perp AB$ $(3)$
$\\$
$Q$ là trung điểm $AB$ (gt)
`=>CQ` vừa là đường trung tuyến và đường cao $∆ABC$ đều
`=>CQ`$\perp AB$ `\quad (4)`
Từ `(3);(4)=>EN`//$CQ$
`=>CNEQ` là hình thang (đpcm)
$\\$
`c)` $P$ là trung điểm $AC$ (gt)
`=>BP` vừa là đường trung tuyến và đường cao $∆ABC$ đều
`=>BP`$\perp AC$
`=>∆BPE` vuông tại $P$
Vì $M$ là trung điểm $BE$ (gt)
`=>PM` là đường trung tuyến $∆BPE$ vuông tại $P$
`=>PM=1/2BE` $(5)$
$\\$
Vì $EN\perp AB$ (c/m câu b)
`=>∆BNE` vuông tại $N$
$NM$ là trung tuyến $∆BNE$
`=>NM=1/2 BE` $(6)$
$\\$
Xét $∆ACD$ có $P;N$ lần lượt là trung điểm $AC; AD$
`=>PN` là đường trung bình của $∆ACD$
`=>PN=1/2 CD`
Mà $BCDE$ là hình thang cân (câu a)
`=>BE=CD`
`=>PN=1/2BE` $\quad (7)$
$\\$
Từ `(5);(6);(7)=>PM=NM=PN`
`=>∆MNP` là tam giác đều (đpcm)
