Đáp án:
\[P \ge \frac{3}{2}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
P = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}\\
= \left( {\frac{a}{{b + c}} + 1} \right) + \left( {\frac{b}{{c + a}} + 1} \right) + \left( {\frac{c}{{a + b}} + 1} \right) - 3\\
= \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{b + c + a}}{{c + a}} + \frac{{c + a + b}}{{a + b}} - 3\\
= \left( {a + b + c} \right).\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{a + b}}} \right) - 3
\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia- Copski ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right) + \left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right)}} \ge \frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}\\
\Rightarrow P \ge \left( {a + b + c} \right).\frac{9}{{2.\left( {a + b + c} \right)}} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)
Vậy \(P \ge \frac{3}{2}\)
