Đáp án:
$m =2\sqrt[3]{3}$
Giải thích các bước giải:
$y = x^4 - mx^2 +1$
$y' = 4x^3 - 2mx$
$y' = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\2x^2 - m = 0\quad (*)\end{array}\right.$
Phương trình có $3$ điểm cực trị
$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}0 + 2m > 0\\2.0^2 - m \ne 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow m > 0$
Khi đó, với $A,\, B,\, C$\ là $3$ điểm cực trị của hàm số, ta có:
$A(0;1), B\left(\sqrt{\dfrac m2};-\dfrac{m^2}{4} +1\right), C\left(-\sqrt{\dfrac m2};-\dfrac{m^2}{4} +1\right)$
Ta có: $∆ABC$ cân tại $A$ (hàm trùng phương nhận $Oy$ làm trục đối xứng)
Do đó:
$∆ABC$ đều $\Leftrightarrow AB = BC$
$\Leftrightarrow AB^2 = BC^2$
$\Leftrightarrow \dfrac m2 + \dfrac{m^4}{16} = 4\cdot\dfrac m2$
$\Leftrightarrow m\left(\dfrac{m^3}{16} -\dfrac32\right) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 0\quad (loại)\\m = \sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}\quad (nhận)\end{array}\right.$
Vậy $m =2\sqrt[3]{3}$
