Giải thích các bước giải:
a.Nếu $x+y+z=0$
$\to \dfrac{2x}{y+z-2}=\dfrac{2y}{z+x-3}=\dfrac{2z}{x+y+5}=0$
$\to 2x=2y=2z=0$
$\to x=y=z=0$
Nếu $x+y+z\ne 0$
Ta có:
$\dfrac{2x}{y+z-2}=\dfrac{2y}{z+x-3}=\dfrac{2z}{x+y+5}=x+y+z=\dfrac{2x+2y+2z}{y+z-2+z+x-3+x+y+5}$
$\to \dfrac{2x}{y+z-2}=\dfrac{2y}{z+x-3}=\dfrac{2z}{x+y+5}=x+y+z=\dfrac{2(x+y+z)}{2(x+y+z)}$
$\to \dfrac{2x}{y+z-2}=\dfrac{2y}{z+x-3}=\dfrac{2z}{x+y+5}=x+y+z=1$
Ta có:
$\dfrac{2x}{y+z-2}=1$
$\to 2x=y+z-2$
$\to 3x=x+y+z-2$
$\to 3x=1-2$
$\to 3x=-1$
$\to x=-\dfrac13$
Lại có:
$\dfrac{2y}{z+x-3}=1$
$\to 2y=z+x-3$
$\to 3y=z+x+y-3$
$\to 3y=1-3$
$\to y=\dfrac{-2}3$
Lại có:
$\dfrac{2z}{x+y+5}=1$
$\to 2z=x+y+5$
$\to 3z=x+y+z+5=1+5=6$
$\to z=2$
$\to (x,y,z)=(\dfrac13,-\dfrac23,2)$
b.Giả sử không tồn tại $2$ số nào bằng nhau
$\to$Không mất tính tổng quát giả sử:
$a_1<a_2<....<a_{2021}$
Mà $\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+...+\dfrac1{a_{2021}}=1011$
$\to 1011<\dfrac1{a_{1}}+\dfrac1{a_{1}}+...+\dfrac1{a_{1}}$
$\to 1011<\dfrac{2021}{a_{1}}$
$\to a_1<\dfrac{2021}{1011}$
$\to a_1<2$
Mà $a_1$ là số nguyên dương
$\to a_1=1$
$\to \dfrac11+\dfrac1{a_2}+...+\dfrac1{a_{2021}}=1011$
$\to \dfrac1{a_2}+...+\dfrac1{a_{2021}}=1010$
$\to 1010<\dfrac1{a_2}+...+\dfrac1{a_2}$
$\to 1010<\dfrac{2020}{a_2}$
$\to a_2<2$
Mà $a_2$ là số nguyên dương
$\to a_2=1$
$\to a_2=a_1$
$\to$Giả sử sai
$\to$Tồn tại ít nhất $2$ trong số $2021$ số nguyên dương đã cho bằng nhau
