Cho ba số thực dương a,b,c và thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S=\frac{a^3+b^3}{a+2b}+\frac{b^3+c^3}{b+2c}+\frac{c^3+a^3}{c+2a}\)
Trước tiên ta chứng minh BĐT: \(\frac{x^3+1}{x+1}\geq \frac{7}{18}x^2+\frac{5}{18}(x>0) (*)\) \((*)\Leftrightarrow 18(x^3+1)\geq (x+2)(7x^2+5)\) luôn đúng với mọi x>0, d ấu “=” sảy ra khi x=1 \(\Leftrightarrow (x-1)^2(11x+8)\geq 0\) Áp dụng (*) cho x lần lượt là \(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\) \(\frac{a^3+b^3}{a+2b}\geq \frac{7a^2}{18}+\frac{5b^2}{18}\) \(\frac{b^3+c^3}{b+2c}\geq \frac{7b^2}{18}+\frac{5c^2}{18}\) \(\frac{c^3+a^3}{c+2a}\geq \frac{7c^2}{18}+\frac{5a^2}{18}\) Từ các đảng thức trên suy ra \(S\geq \frac{12(a^2+b^2+c^2)}{18}=2\) Vậy MinS =2 khi a=b=c=1