Đáp án: $m=-3$
Giải thích các bước giải:
a.Khi $m=1\to $Phương trình trở thành:
$x^2-3x+1=0$
$\to x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
b.Để phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt
$\to \Delta>0$
$\to (-3)^2-4m>0$
$\to m<\dfrac94$
Khi đó phương trình luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn:
$\begin{cases}x_1+x_2=3\\x_1x_2=m\end{cases}$
Mặt khác $x^2-3x+m=0$
$\to x^2+1=3x-m+1$
$\to \begin{cases}x_1^2+1=3x_1-m+1\\ x_2^2+1=3x_2-m+1\end{cases}$
Để $\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}=3\sqrt{3}$
$\to \sqrt{3x_1-m+1}+\sqrt{3x_2-m+1}=3\sqrt{3}$
$\to (\sqrt{3x_1-m+1}+\sqrt{3x_2-m+1})^2=27$
$\to (3x_1-m+1)+2\sqrt{(3x_1-m+1)(3x_2-m+1)}+(3x_2-m+1)=27$
$\to 3(x_1+x_2)-2(m-1)+2\sqrt{9x_1x_2-3(m-1)(x_1+x_2)+(m-1)^2}=27$
$\to 3\cdot 3-2(m-1)+2\sqrt{9\cdot m-3(m-1)\cdot 3+(m-1)^2}=27$
$\to -2m+2\sqrt{m^2-2m+10}+11=27$
$\to 2\sqrt{m^2-2m+10}=2m+16$
$\to \sqrt{m^2-2m+10}=m+8$
$\to m^2-2m+10=(m+8)^2$
$\to m=-3$
