Đáp án:
a) \(H\left( {\dfrac{{14}}{5};\dfrac{{17}}{5}} \right)\)
b) \(A'\left( {\dfrac{8}{5};\dfrac{{29}}{5}} \right)\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{14}}{5} + 2t\\
y = \dfrac{{17}}{5} + t
\end{array} \right.\)
d) Không tồn tại tọa độ giao điểm (d) và (d')
e) \(x - 2y + 4 = 0\)
Giải thích các bước giải:
a) Do H là hình chiếu của A xuống (d)
⇒ AH⊥(d) và H∈(d)
\(\begin{array}{l}
\to H\left( {2t - 4;t} \right)\\
\to \overrightarrow {AH} = \left( {2t - 8;t - 1} \right)\\
Do:AH \bot \left( d \right);vtcp:{\overrightarrow u _d} = \left( {2;1} \right)\\
\to \overrightarrow {AH} .{\overrightarrow u _d} = 0\\
\to 2\left( {2t - 8} \right) + t - 1 = 0\\
\to 5t - 17 = 0\\
\to t = \dfrac{{17}}{5}\\
\to H\left( {\dfrac{{14}}{5};\dfrac{{17}}{5}} \right)
\end{array}\)
b) Do A' đối xứng với A qua (d)
⇒ H là trung điểm của AA'
\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} + 4 = 2.\dfrac{{14}}{5}\\
{y_{A'}} + 1 = 2.\dfrac{{17}}{5}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = \dfrac{8}{5}\\
{y_{A'}} = \dfrac{{29}}{5}
\end{array} \right.\\
\to A'\left( {\dfrac{8}{5};\dfrac{{29}}{5}} \right)
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
c)vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {1; - 2} \right)\\
\to vtcp:{\overrightarrow u _d} = \left( {2;1} \right)
\end{array}\)
Phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua \(H\left( {\dfrac{{14}}{5};\dfrac{{17}}{5}} \right)\) và có \(vtcp:{\overrightarrow u _d} = \left( {2;1} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{14}}{5} + 2t\\
y = \dfrac{{17}}{5} + t
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
d)vtcp:\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {2;1} \right)\\
\to vtpt:\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {1; - 2} \right)
\end{array}\)
Phương trình tổng quát (d') đi qua B(2;3) và có \(vtpt:\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {1; - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l}
x - 2 - 2\left( {y - 3} \right) = 0\\
\to x - 2y + 4 = 0
\end{array}\)
Tọa độ giao điểm (d) và (d') là nghiệm của hệ phương trình
\( \to \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 4 = 0\\
x - 2y + 4 = 0
\end{array} \right.\)
⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm
⇒ Không tồn tại tọa độ giao điểm (d) và (d')
e) Phương trình tổng quát (d')
\(x - 2y + 4 = 0\)
