Ta có: $5^{n+3} - 3^{n+3} + 5^{n+2} - 3^{n+1}$
$= 5^{n+3} + 5^{n+2} - (3^{n+3} + 3^{n+1})$
$= 5^n. (125 + 25) - 3^n.(27+3)$
$= 5^n. 150 - 3^n.30$
$= 30.(5^{n+1} - 3^n)$
Vì $n$ $∈$ $N$ $⇒$ $5^{n+1}; 3^n lẻ$
$⇒$ $5^{n+1} - 3^n$ chẵn $⇒ 5^{n+1} - 3^n = 2k$ ($k ∈ N*$)
$⇒$ $30.(5^{n+1} - 3^n)= 30,2k = 60k \vdots 60 ∀ k ∈ N*$) ($đ.p.c.m$)