`a)` $AB$ là đường kính của $(O)$ và $K\in (O)$
`=>\hat{AKB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vì `N\in KB=>\hat{AKN}=90°`
$\\$
`b)` Xét $∆MAB$ vuông tại $A$ có $AK\perp MB$
`=>AM^2=MK.MB` (hệ thức lượng)
$\\$
`c)` $MA$ và $MC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$
`=>MA=MC`
Mà $OA=OC=R$
`=>OM` là trung trực của $AC$
`=>OM`$\perp AC$
Ta có:
`\qquad \hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>BC`$\perp AC$
`=>OM`//$BC$
`=>\hat{CBM}=\hat{OMB}` (hai góc so le trong)
Mà `\hat{CBM}=\hat{KAC}` (cùng chắn cung $KC$)
`=>\hat{KAC}=\hat{OMB}`
$\\$
`d)` Xét $∆BHN$ và $∆BAM$ có:
`\qquad \hat{B}` chung
`\qquad \hat{BHN}=\hat{BAM}=90°`
`=>∆BHN∽∆BAM` (g-g)
`=>{NH}/{MA}={HB}/{AB}`
`=>{2NH}/{MA}={2HB}/{2AO}` (vì $AB=2R=2AO$)
`=>{2NH}/{MA}={HB}/{AO}` $(1)$
$\\$
Xét $∆BHC$ và $∆OAM$ có:
`\qquad \hat{HBC}=\hat{AOM}` (hai góc đồng vị do $OM$//$BC$)
`\qquad \hat{BHC}=\hat{OAM}=90°`
`=>∆BHC∽∆OAM` (g-g)
`=>{CH}/{MA}={HB}/{AO}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>{2NH}/{MA}={CH}/{MA}`
`=>CH=2NH`
Mà `C;N;H` thẳng hàng
`=>N` là trung điểm $CH$
