`a)` `K` là điểm chính giữa $\stackrel\frown{BC}$
`=>\stackrel\frown{BK}=\stackrel\frown{CK}`
`=>BK=CK` (liên hệ dây và cung)
Mà $OB=OC=R$
`=>OK` là trung trực của $BC$
`=> OK`$\perp BC$ (đpcm)
Ta có: `\hat{ACD}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét $∆ABI$ và $∆ADC$ có:
`\hat{ABI}=\hat{ADC}` (góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)
`\hat{AIB}=\hat{ACD}=90°`
`=>∆ABI∽∆ADC\ (g-g)`
`=>{AB}/{AD}={AI}/{AC}`
`=>AB.AC=AI.AD` $(đpcm)$
$\\$
`b)`Ta có:
`\hat{BAK}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BK}` (góc nội tiếp chắn `\stackrel\frown{BK}`)
`\hat{CAK}=1/ 2sđ \stackrel\frown{CK}` (góc nội tiếp chắn `\stackrel\frown{CK}`)
Mà `\stackrel\frown{BK}=\stackrel\frown{CK}` (câu a)
`=>\hat{BAK}=\hat{CAK}`
`<=>\hat{BAI}+\hat{IAK}=\hat{DAC}+\hat{DAK}`
Mà $∆ABI∽∆ADC$(câu a)
`=>\hat{BAI}=\hat{DAC}`
`=>\hat{IAK}=\hat{DAK}`
`=>AK` là phân giác của `\hat{IAD}` (đpcm)
`=>AK` là phân giác của `\hat{IAO}` (đpcm)
$\\$
`c)` Ta có: `\hat{BAK}=\hat{CAK}` (câu b)
`=>\hat{HAL}=\hat{CAK}`
Mà `\hat{CAK}=\hat{NCK}` (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
`=>\hat{HAL}=\hat{NCK}`
`OK` là trung trực của $BC$ (câu a)
`=>OK`$\perp BC$ tại trung điểm $N$ của $BC$
`=>\hat{CNK}=90°` và $BC=2CN$
Xét $∆HAL$ và $∆NCK$ có:
`\hat{HAL}=\hat{NCK}` (c/m trên)
`\hat{AHL}=\hat{CNK}=90°`
`=>∆HAL∽∆NCK(g-g)`
`=>{AH}/{CN}={AL}/{CK}`
`=>AH.CK=AL.CN`
`=>2AH.CK=AL.2CN`
`=>2AH.CK=AL.BC` (đpcm)
