Đáp án+Giải thích các bước giải:
Cách 1:
Đặt `x-1/a,\quad y=1/b,\quad z=1/c`
\(\Rightarrow \begin{cases} x,\quad y,\quad z>0\\xyz=1\end{cases}\)
Bất đẳng thức trở thành:
`x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)>=3/2`
Áp dụng bất đẳng thức ` Cô -si` ta được:
`VT =x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y) >= (x+y+z)^2/(2(x+y+z)) = (x+y+z)/2 >= (3\root{3}{xyz})/{2}=3/2=VP`
"=" xảy ra khi `x=y=z=1`
`=> a=b=c=1`
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức ` Cô-si` ta có:
`1/(a^3(b+c))+(a(b+c))/4>= 2sqrt(1/(a^3(b+c))*(a(b+c))/4)= 2sqrt(1/(4a^2))=1/a= (abc)/a=bc`
Tương tự:
`1/(b^3(a+c))+(b(c+a))/4>=1/b = (abc)/b=ac`
`1/(c^3(a+b))+(c(b+a))/4>=1/c = (abc)/c=ab`
Cộng vế theo vế:
`=> VT + (ab+bc+ac)/2>= ab+bc+ac`
`=> VT >=(ab+bc+ac)/2`
Áp dụng bđt ` Cô -si` ta có:
`ab+bc + ac >= 3\root{3}{a^2b^2c^2}=3`
`=> VT >=3/2`
"=" xảy ra khi `a=b=c=1`
