Đáp án:
1) Hàm số nghịch biến trên R khi:
$\begin{array}{l}
2m - 1 < 0\\
\Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}\\
Vậy\,m < \dfrac{1}{2}
\end{array}$
2)
$\begin{array}{l}
+ Cho:x = 0 \Leftrightarrow y = m - 1\\
\Leftrightarrow A\left( {0;m - 1} \right)\\
\Leftrightarrow OA = \left| {m - 1} \right|\\
+ Cho:y = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{{m - 1}}{{2m - 1}}\left( {m \ne \dfrac{1}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow B\left( { - \dfrac{{m - 1}}{{2m - 1}};0} \right)\\
\Leftrightarrow OB = \left| { - \dfrac{{m - 1}}{{2m - 1}}} \right| = \left| {\dfrac{{m - 1}}{{2m - 1}}} \right|\\
OA = OB\\
\Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \left| {\dfrac{{m - 1}}{{2m - 1}}} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m - 1 = 0\\
\dfrac{1}{{2m - 1}} = 1\\
\dfrac{1}{{2m - 1}} = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\left( {tm} \right)\\
2m - 1 = 1\\
2m - 1 = - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = 1\\
m = 0\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
Vậy\,m = 0;m = 1\\
3)Goi:M\left( {x;y} \right)\\
\Leftrightarrow y = \left( {2m - 1} \right).x + m - 1\forall m\\
\Leftrightarrow 2mx - x + m - 1 = y\forall m\\
\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right).m = x + y + 1\forall m\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 = 0\\
x + y + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \dfrac{1}{2}\\
y = - x - 1 = \dfrac{1}{2} - 1 = - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow M\left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\\
4)OM = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O xuống d
Trong tam giác OHM vuông tại H có: OM là cạnh huyền
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow OH \le OM\\
\Leftrightarrow O{H_{max}} = OM\\
\Leftrightarrow OM \bot d\\
Goi:OM:y = a.x\\
Do:M\left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} = a.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow a = 1\\
\Leftrightarrow OM:y = x\\
OM \bot d\\
\Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).1 = - 1\\
\Leftrightarrow 2m - 1 = - 1\\
\Leftrightarrow 2m = 0\\
\Leftrightarrow m = 0\\
Vậy\,m = 0
\end{array}$
