Bài 4: a)
$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} \left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} \left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} }}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \end{array}$
b) Áp dụng biểu thức trên ta được:
$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2005\sqrt {2004} + 2004\sqrt {2005} }}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2004} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2005} }}\\ = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {2005} }} \end{array}$
