Đáp án:
a/ $\widehat{B}=40^0$; $\widehat{C}=50^0$
$AB≈9,96cm$; $AC≈8,36cm$; $BC=13cm$
d/ $S_{ADHE}(Max)=\dfrac{AH^2}{2}$ khi $\alpha=45^0$
Giải thích các bước giải:
a/ Ta có: $\widehat{B}=90^0-\widehat{C}=90^0-50^0=40^0$
Áp dụng hệ thức lượng vào ΔABC vuông tại A có:
$AB=BC.sinC=13.sin50^0≈9,96$ $(cm)$
$AC=BC.sinB=13.sin40^0≈8,36$ $(cm)$
Vậy ΔABC vuông tại A có: $\widehat{B}=40^0$; $\widehat{C}=50^0$
$AB≈9,96cm$; $AC≈8,36cm$; $BC=13cm$
b/ Ta có: $VP=AB.cosB+AC.cosC$
$=AB.\dfrac{AB}{BC}+AC.\dfrac{AC}{BC}$
$=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC}$
$=\dfrac{BC^2}{BC}$
$=BC=VT$ $(đpcm)$
c/ Áp dụng hệ thức vào ΔAMC vuông tại C có:
$AH.HM=HC^2$ $(1)$
Áp dụng hệ thức vào ΔAHC vuông tại H có:
$HC^2=CE.CA$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AH.HM=CE.CA$ $(đpcm)$
d/ Đặt: $S=S_{AEHD}=AE.EH$
$\text{Áp dụng bất đẳng thức: $ab \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$ ta được:}$
$S=AE.EH \leq \dfrac{AE^2+EH^2}{2}=\dfrac{AH^2}{2}$
$\text{Dấu "=" xảy ra khi $AE=EH$}$
⇒ ΔAEH vuông cân tại E
⇒ $\widehat{EAH}=45^0$
⇒ $\alpha=\widehat{C}=90^0-45^0=45^0$
$\text{Vậy diện tích tứ giác ADHE đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{AH^2}{2}$ khi $\alpha=45^0$}$
