Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(D\) là trung điểm \(BC\) và \(\widehat {ACB} = {60^0}\)
\( \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\) và \(BC = 2a,CA = a\sqrt 3 \)
Dựng \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) với \(H \in \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow H\) là tâm tam giác đều \(BAD\) do \(SA = SB = SD\)
Gọi hình chiếu của \(H\) lên \(AB,AC\) thứ tự là \(E,F\)
Gọi \(M\) là trung điểm đoạn \(BD\)
\( \Rightarrow AM = \sqrt {B{A^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(HE = HM = \dfrac{{AM}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Ta có: \(SH \bot BC,AM \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAM} \right)\).
Kẻ \(MN \bot SA\) \(\left( {N \in SA} \right)\) thì \(MN\) là đường vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\) hay \(MN = \dfrac{{3a}}{4}\)
\( \Rightarrow NA = \sqrt {M{A^2} - M{N^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Trong tam giác \(SAM\) có \(MN,SH\) là hai đường cao nên \(AH.AM = AN.AS\)
\( \Rightarrow AS = \dfrac{{AH.AM}}{{AN}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = a\).
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại \(A\) và các trục tọa độ như hình vẽ với tia \(Ox\) trùng với tia \(AB\), tia \(Oy\) trùng với tia \(AC\) và tia \(Oz\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và có hướng theo \(\overrightarrow {HS} \)
Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng \(a\).
Khi đó: \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\)
Do \(HF = AE = \dfrac{a}{2},HE = HM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) và \(SH = a\) nên \(S\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{6};1} \right)\)
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là:
\(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;0; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là:
\(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( { - \sqrt 3 ; - 1; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\), ta có:
\(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {65} }}{{13}}\).