Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên tạo với đáy một góc \({45^0}\). Tính theo \(a\) thể tích khối chóp S.ABC. A.\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\) B.\(\dfrac{{{a^3}}}{{12}}\) C.\(\dfrac{{{a^3}}}{8}\) D.\(\dfrac{{{a^3}}}{{24}}\)
Đáp án đúng: B Phương pháp giải: Thể tích hình chóp \(V = \dfrac{1}{3}S.h\) với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao hình chópGiải chi tiết: Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD\) Vì AD là đường trung tuyến trong tam giác ABC đều cạnh \(a\) nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD\)\( = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \) góc giữa cạnh bên SA và đáy là góc giữa SA và AH, hay là góc SAH Theo đề bài ta có \(\widehat {SAH} = {45^0} \Rightarrow \Delta SAH\) vuông cân tại \(H \Rightarrow SH = AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Diện tích tam giác ABC đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) Thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SH\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)\( = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\) Chọn B.