Gọi $H$ là trung điểm của $DF$
$\Rightarrow DH = HF = \dfrac{1}{2}DF$
Xét $ΔDFC$ có:
$DH = HF = \dfrac{1}{2}DF$ (cách dựng)
$CG = GF = \dfrac{1}{2}CF\quad (gt)$
$\Rightarrow GH$ là đường trung bình
$\Rightarrow \begin{cases}GH = \dfrac{1}{2}CD\\GH//CD//AB\end{cases}\qquad (1)$
Ta lại có:
$\quad \begin{cases}AE = EB = \dfrac{1}{2}AB\quad (gt)\\AB= CD;\, AB//CD\quad (gt)\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}AE =\dfrac{1}{2}CD\quad (gt)\\AE//CD\end{cases}\qquad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow \begin{cases}AE=GH\\AE//GH\end{cases}$
$\Rightarrow AEGH$ là hình bình hành
$\Rightarrow \widehat{EGH} = \widehat{EAH}\qquad (3)$
Mặt khác:
$ΔAFD\sim ΔDFC\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{DF}{FC} = \dfrac{AD}{DC}$
$\Rightarrow \dfrac{2DH}{2CG} = \dfrac{AD}{DC}$
$\Rightarrow \dfrac{DH}{CG} = \dfrac{AD}{DC}$
Xét $ΔADH$ và $ΔDCG$ có:
$\dfrac{DH}{CG} = \dfrac{AD}{DC} \quad (cmt)$
$\widehat{ADH} = \widehat{DCG}$ (cùng phụ $\widehat{FDC}$)
Do đó $ΔADH \sim ΔDCG\, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{DAH} = \widehat{GDC}$
mà $\widehat{GDC} = \widehat{DGH}$ (so le trong)
nên $\widehat{DAH} = \widehat{DGH}\qquad (4)$
$(3)(4) \Rightarrow \widehat{EGH} + \widehat{DGH} = \widehat{EAH} + \widehat{DAH}$
$\Rightarrow \widehat{EGD} = \widehat{EAD} = 90^o$
$\Rightarrow EG\perp GD$
