Đáp án:
$V_{NMBA_1}= \dfrac{a^3\sqrt2}{24}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$AA_1\perp (ABC)\quad$ (lăng trụ đứng)
$\Rightarrow AA_1\perp AC$
mà $AC\perp AB$
nên $AC\perp (AA_1B)$
$\Rightarrow AC = d(C;(AA_1B))= a$
Gọi $I$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow NI//CC_1$ (đường trung bình)
$\Rightarrow NI//(AA_1B)$
$\Rightarrow d(N;(AA_1B))=d(I;(AA_1B))$
Gọi $K$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow IK//AC;\, IK=\dfrac12AC =\dfrac a2$ (đường trung bình)
$\Rightarrow IK\perp (AA_1B)$
$\Rightarrow IK = d(I;(AA_1B))=\dfrac a2$
Mặt khác:
$M$ là trung điểm $AA_1$
$\Rightarrow S_{MBA_1}=\dfrac12S_{ABA_1}$
$\Rightarrow S_{MBA_1}=\dfrac14AA_1.AB =\dfrac14.a\sqrt2.a =\dfrac{a^2\sqrt2}{4}$
Do đó:
$V_{NMBA_1}=\dfrac13S_{MBA_1}.d(N;(MBA_1))=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt2}{4}\cdot\dfrac a2 = \dfrac{a^3\sqrt2}{24}$
