Đáp án:

\(d\left( {BD';B'C} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Giải thích các bước giải:

Gọi E đối xứng với A’ qua D’

\( \Rightarrow D'E\parallel BC\) và \(D'E = BC \Rightarrow BCED'\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow BD'\parallel CE\).

\( \Rightarrow d\left( {BD';B'C} \right) = d\left( {BD';\left( {B'CE} \right)} \right) = d\left( {D';\left( {B'CE} \right)} \right)\).

Gọi \(C'D' \cap B'E = M\), áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\dfrac{{MC'}}{{MD'}} = \dfrac{{B'C'}}{{D'E}} = 1 \Rightarrow MC' = MD'\).

\(\begin{array}{l}C'D' \cap \left( {B'CE} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C';\left( {B'CE} \right)} \right)}}{{d\left( {D';\left( {B'CE} \right)} \right)}} = \dfrac{{MC'}}{{MD'}} = 1\\ \Rightarrow d\left( {C';\left( {B'CE} \right)} \right) = d\left( {D';\left( {B'CE} \right)} \right)\end{array}\)

Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) kẻ \(C'H \bot B'E\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'E \bot C'H\\B'E \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow B'E \bot \left( {CC'H} \right)\).

Trong \(\left( {CC'H} \right)\) kẻ \(C'K \bot CH\) .

 \( \Rightarrow C'K \bot \left( {B'CE} \right) \Rightarrow d\left( {C';\left( {B'CE} \right)} \right) = C'K\)

\( \Rightarrow d\left( {BD';B'C} \right) = C'K\).

Xét tam giác vuông B’C’M có:

\(C'H = \dfrac{{C'B'.C'M}}{{\sqrt {C'B{'^2} + C'{M^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Xét tam giác vuông \(CC'H\) có:

\(C'K = \dfrac{{CC'.C'H}}{{\sqrt {CC{'^2} + C'{H^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy \(d\left( {BD';B'C} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).