Lời giải:
Gọi $M,\ N$ lần lượt là trung điểm $AB,\ CD$
Ta có:
$AB//CD\quad (gt)$
$\Rightarrow \triangle ABO\backsim \triangle COD$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{AO}{CO}$
$\Rightarrow \dfrac{2AM}{2CN} = \dfrac{AO}{CO}$
$\Rightarrow \dfrac{AM}{CN} = \dfrac{AO}{CO}$
Xét $\triangle AMO$ và $\triangle CNO$ có:
$\begin{cases}\dfrac{AM}{CN} = \dfrac{AO}{CO}\quad (cmt)\\\widehat{MAO} = \widehat{NCO}\quad \text{(so le trong)}\end{cases}$
Do đó: $\triangle AMO\backsim \triangle CNO\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AOM} = \widehat{CON}$
mà $A, O, C$ thẳng hàng
nên $M, O, N$ thẳng hàng $(1)$
Tương tự, ta có: $\triangle KAB\backsim \triangle KDC\quad (AB//CD)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{KA}{KD}$
$\Rightarrow \dfrac{2AM}{2DN} = \dfrac{KA}{KD}$
$\Rightarrow \dfrac{AM}{DN} = \dfrac{KA}{KD}$
Xét $\triangle KAM$ và $\triangle KDN$ có:
$\begin{cases}\dfrac{AM}{DN} = \dfrac{KA}{KD}\quad (cmt)\\\widehat{KAM} = \widehat{KDN}\quad \text{(đồng vị)}\end{cases}$
Do đó: $\triangle KAM\backsim \triangle KDN\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{KMA} = \widehat{KND}$
$\Rightarrow K, M, N$ thẳng hàng $(2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow K,M,O,N$ thẳng hàng
$\Rightarrow OK$ đi qua trung điểm $AB, CD$
____________________________________________________________
Ta vừa chứng minh xong Bổ đề hình thang:
"Trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm hai đường chéo và giao điểm hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy"
