Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có cạnh \(AB = 3;\)\(BC = 4\) và góc giữa \(DC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
A.\(V = \dfrac{{125\sqrt 3 }}{3}\pi \)
B.\(V = \dfrac{{25\sqrt 2 }}{3}\pi \)
C.\(V = \dfrac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \)
D.\(V = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{3}\pi \)

Gọi \(m,\,\,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x - \sqrt {x + 2} \) trên đoạn \(\left[ { - 1;34} \right]\). Tính tổng \(S = 3m + M.\)
A.\(S = \dfrac{{13}}{2}\)
B.\(S = \dfrac{{63}}{2}\)
C.\(S = \dfrac{{25}}{2}\)
D.\(S = \dfrac{{11}}{2}\)

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), cạnh bên bằng \(\dfrac{a}{2}\). Tính thể tích khối lăng trụ?
A.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\)
B.\(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)

Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\) và vuông góc với đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}\). Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng \(\left( d \right)\).
A.\(\left( {2;1;1} \right)\)
B.\(\left( {4; - 2;2} \right)\)
C.\(\left( { - 4;2; - 2} \right)\)
D.\(\left( { - 2;1;1} \right)\)

Một người chơi trò gieo súc sắc. Mỗi ván gieo đồng thời ba con súc sắc. Người chơi thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt sáu chấm. Tính xác suất để trong ba ván, người đó thắng ít nhất hai ván.
A.\(\dfrac{1}{{1296}}\)
B.\(\dfrac{{308}}{{19683}}\)
C.\(\dfrac{{58}}{{19683}}\)
D.\(\dfrac{{53}}{{23328}}\)

Cho hai điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right);\,\,B\left( {0;3;1} \right)\). Biết tập hợp các điểm \(M \in mp\left( \alpha \right):\,\,x + y + z + 3 = 0\) thỏa mãn \(2.M{A^2} - M{B^2} = 4\) là đường tròn bán kính \(r\). Tính \(r\).
A.\(r = 2\sqrt 7 \)
B.\(r = 6\)
C.\(r = 2\sqrt 6 \)
D.\(r = 5\)

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = 2;\)\(BC = 4\). Mặt bên \(ABB'A'\) là hình thoi có góc \(B\) bằng \({60^0}\). Gọi điểm \(K\) là trung điểm của \(B'C'\). Tính thể tích khối lăng trụ biết \(d\left( {A'B';BK} \right) = \dfrac{3}{2}.\)
A.\(4\sqrt 3 \)
B.\(6\)
C.\(3\sqrt 3 \)
D.\(2\sqrt 3 \)

Tìm \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( {\dfrac{1}{2};1;4} \right)\) đến đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2m + mt\\y = - 2 + 2m + \left( {1 - m} \right)t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)
Đạt giá trị lớn nhất.
A.\(m = \dfrac{2}{3}\)
B.\(m = \dfrac{4}{3}\)
C.\(m = \dfrac{1}{3}\)
D.\(m = 1\)

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;0;0} \right);\,\,N\left( {0;0;3} \right)\) sao cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)tạo với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) một góc bằng \({60^0}\). Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)
A.\(1\)
B.\(\dfrac{3}{2}\)
C.\(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
D.\(2\)

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\)\(AC = BC = AD = BD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) ; \(\left( {ABC} \right)\) là \(\alpha \). Tính \(\cos \alpha \) biết mặt cầu đường kính \(MN\) tiếp xúc với cạnh \(AD\).
A.\(2 - \sqrt 3 \)
B.\(2\sqrt 3 - 3\)
C.\(3 - 2\sqrt 3 \)
D.\(\sqrt 2 - 1\)