Ta cần cminh
$\dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{5^2} + \cdots + \dfrac{1}{(2n+1)^2} < \dfrac{1}{4}$
Nhân 2 vào 2 vế. Khi đó ta sẽ chứng minh điều sau đây
$ \dfrac{2}{3^2} + \dfrac{2}{5^2} + \cdots + \dfrac{2}{(2n+1)^2} < \dfrac{1}{2}$
Ta có
$\dfrac{2}{3^2} + \dfrac{2}{5^2} + \cdots + \dfrac{2}{(2n+1)^2} < \dfrac{2}{2.4} + \dfrac{2}{4.6} + \cdots + \dfrac{2}{2n(2n+2)}$
$= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} + \cdots + \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{2n+2}$
$= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2n + 2} < \dfrac{1}{2}$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
